Cálculo aproximado de Pi

A lo largo de la historia, varias personas han intentado hallar una fórmula que sirva para obtener una aproximación lo mas exacta posible del número Pi. Algunas fórmulas son muy precisas, pero todas tienen un margen de error cada cierto número elevado de decimales. Por suerte hoy disponemos de computadoras que permiten realizar cálculos a enormes velocidades.

Pi

A finales del año 2010 los matemáticos Alexander Yee y Shigeru Kondo utilizaron el Algoritmo de Chudnovsky como método para calcular los decimales de Pi y una computadora casera con 96 GB de memoria RAM para conseguir superar el record que ya poseían, y que actualmente es de 10 Billones de decimales. Para ello tardaron 371 días con la computadora trabajando a su máximo rendimiento. Toda una proeza, sin duda.

La expresión matemática del Algoritmo de Chudnovsky es la siguiente:

\displaystyle {426880 \sqrt{10005} \over \pi}= \sum_{k=0}^\infty {(6k)!(13591409+545140134k) \over (3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}

Aquí he hecho un Hack con el algoritmo en C que devuelve como resultado un valor escandalosamente aproximado de Pi con 16 dígitos:

#include <stdio.h>
#include <math.h>

//Funcion que devuelve el factorial de un numero
double fact(double n) {
 if(n == 0) return 1;
 else return n * fact(n-1);
}

int main(void) {

 double k, pi;

 //Algoritmo de Chudnovsky
 for(k=0.0; k<=1.0; k++) {
  pi += fact((6.0 * k)) * (13591409.0 + (545140134.0 * k)) / ((fact(3.0 * k) * pow(fact(k),3.0)) * pow(-640320.0,(3.0 * k)));
 }

 pi = 426880 * sqrt(10005)/pi;

 printf("%.16f\n", pi);

 return 0;
}

El resultado de su ejecución sería el siguiente:

./chudnovsky
3.1415926535897931

Pero esto no es suficiente. Si lo que queremos es obtener, por ejemplo, un millón de decimales o más tendremos que usar un método un poco diferente, y para ello utilizaremos la librería GMP de la Free Software Foundation. Esta librería nos proporcionará una serie de funciones y procedimientos aritméticos para nuestros cálculos, así que para poder probarlo es necesario instalar la librería en nuestro sistema antes de nada. Este es un ejemplo* de código C que tras ser compilado y ejecutado nos devolverá tantos dígitos de Pi como le hayamos indicado como argumento:

/*
* Compute pi to a certain number of decimal digits, and print it.
*
*   gcc -O2 -Wall -o chudnovsky chudnovsky.c -lgmp
*
* WARNING: This is a demonstration program only, is not optimized for
* speed, and should not be used for serious work!
*
* The Chudnovsky Algorithm:
*                               _____
*                     426880 * /10005
*  pi = ---------------------------------------------
*         _inf_
*         \     (6*k)! * (13591409 + 545140134 * k)
*          \    -----------------------------------
*          /     (3*k)! * (k!)^3 * (-640320)^(3*k)
*         /____
*          k=0
*
* http://en.wikipedia.org/wiki/Pi#Rapidly_convergent_series
*
* First million digits: http://www.piday.org/million.php
*
* Copyright (c) 2012 Brian "Beej Jorgensen" Hall <beej@beej.us>
*
* Permission is hereby granted, free of charge, to any person obtaining
* a copy of this software and associated documentation files (the
* "Software"), to deal in the Software without restriction, including
* without limitation the rights to use, copy, modify, merge, publish,
* distribute, sublicense, and/or sell copies of the Software, and to
* permit persons to whom the Software is furnished to do so, subject to
* the following conditions:
*
* The above copyright notice and this permission notice shall be
* included in all copies or substantial portions of the Software.
*
* THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS", WITHOUT WARRANTY OF ANY KIND,
* EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO THE WARRANTIES OF
* MERCHANTABILITY, FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE AND NONINFRINGEMENT.
* IN NO EVENT SHALL THE AUTHORS OR COPYRIGHT HOLDERS BE LIABLE FOR ANY
* CLAIM, DAMAGES OR OTHER LIABILITY, WHETHER IN AN ACTION OF CONTRACT,
* TORT OR OTHERWISE, ARISING FROM, OUT OF OR IN CONNECTION WITH THE
* SOFTWARE OR THE USE OR OTHER DEALINGS IN THE SOFTWARE.
*/

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <gmp.h>

// how many to display if the user doesn't specify:
#define DEFAULT_DIGITS 60

// how many decimal digits the algorithm generates per iteration:
#define DIGITS_PER_ITERATION 14.1816474627254776555

/**
 * Compute pi to the specified number of decimal digits using the
 * Chudnovsky Algorithm.
 *
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Pi#Rapidly_convergent_series
 *
 * NOTE: this function returns a malloc()'d string!
 *
 * @param digits number of decimal digits to compute
 *
 * @return a malloc'd string result (with no decimal marker)
 */
char *chudnovsky(unsigned long digits)
{
	mpf_t result, con, A, B, F, sum;
	mpz_t a, b, c, d, e;
	char *output;
	mp_exp_t exp;
	double bits_per_digit;

	unsigned long int k, threek;
	unsigned long iterations = (digits/DIGITS_PER_ITERATION)+1;
	unsigned long precision_bits;

	// roughly compute how many bits of precision we need for
	// this many digit:
	bits_per_digit = 3.32192809488736234789; // log2(10)
	precision_bits = (digits * bits_per_digit) + 1;

	mpf_set_default_prec(precision_bits);

	// allocate GMP variables
	mpf_inits(result, con, A, B, F, sum, NULL);
	mpz_inits(a, b, c, d, e, NULL);

	mpf_set_ui(sum, 0); // sum already zero at this point, so just FYI

	// first the constant sqrt part
	mpf_sqrt_ui(con, 10005);
	mpf_mul_ui(con, con, 426880);

	// now the fun bit
	for (k = 0; k < iterations; k++) {
		threek = 3*k;

		mpz_fac_ui(a, 6*k);  // (6k)!

		mpz_set_ui(b, 545140134); // 13591409 + 545140134k
		mpz_mul_ui(b, b, k);
		mpz_add_ui(b, b, 13591409);

		mpz_fac_ui(c, threek);  // (3k)!

		mpz_fac_ui(d, k);  // (k!)^3
		mpz_pow_ui(d, d, 3);

		mpz_ui_pow_ui(e, 640320, threek); // -640320^(3k)
		if ((threek&1) == 1) { mpz_neg(e, e); }

		// numerator (in A)
		mpz_mul(a, a, b);
		mpf_set_z(A, a);

		// denominator (in B)
		mpz_mul(c, c, d);
		mpz_mul(c, c, e);
		mpf_set_z(B, c);

		// result
		mpf_div(F, A, B);

		// add on to sum
		mpf_add(sum, sum, F);
	}

	// final calculations (solve for pi)
	mpf_ui_div(sum, 1, sum); // invert result
	mpf_mul(sum, sum, con); // multiply by constant sqrt part

	// get result base-10 in a string:
	output = mpf_get_str(NULL, &exp, 10, digits, sum); // calls malloc()

	// free GMP variables
	mpf_clears(result, con, A, B, F, sum, NULL);
	mpz_clears(a, b, c, d, e, NULL);

	return output;
}

/**
 * Print a usage message and exit
 */
void usage_exit(void)
{
	fprintf(stderr, "usage: chudnovsky [digits]\n");
	exit(1);
}

/**
 * MAIN
 *
 * See usage_exit() for usage.
 */
int main(int argc, char **argv)
{
	char *pi, *endptr;
	long digits;

	switch (argc) {
		case 1:
			digits = DEFAULT_DIGITS;
			break;

		case 2:
			digits = strtol(argv[1], &endptr, 10);
			if (*endptr != '\0') { usage_exit(); }
			break;

		default:
			usage_exit();
	}

	if (digits < 1) { usage_exit(); }

	pi = chudnovsky(digits);

	// since there's no decimal point in the result, we'll print the
	// first digit, then the rest of it, with the expectation that the
	// decimal will appear after "3", as per usual:
	printf("%.1s.%s\n", pi, pi+1);

	// chudnovsky() malloc()s the result string, so let's be proper:
	free(pi);

	return 0;
}

Por ejemplo, si queremos saber los 1000 primeros dígitos de Pi tendríamos que ejecutarlo de la siguiente manera:

./chudnovsky 1000

 Y nos devuelve Pi con los siguientes 1000 dígitos:

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914127372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065664308602139494639522473719070217986094370277053921717629317675238467481846766940513200056812714526356082778577134275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968925892354201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859502445945534690830264252230825334468503526193118817101000313783875288658753320838142061717766914730359825349042875546873115956286388235378759375195778185778053217122680661300192787661119590921642019

Como curiosidad, si obtenemos 44904 decimales de Pi podremos observar que en la posición 44899 aparece la cadena... 44899. Alucinante, ¿verdad? Aquí se puede ver un fragmento de los últimos 44904 dígitos:

Cadena 44899 en la posición 44899 de los decimales de Pi.
Cadena 44899 en la posición 44899 de los decimales de Pi.

IMPORTANTE: No te recomiendo que pruebes a calcular un número de decimales de Pi muy elevado (por ejemplo un millón), ya que es posible que tu CPU comience a calentarse considerablemente. Este era un truco muy viejo que se usaba para "romper" el ordenador de alguien hace muchos años, y consistía en meter en el arranque un algoritmo que calculase decimales de Pi como si no hubiera mañana en un sumatorio de infinitas iteraciones.

*Agradecimientos a Brian "Beej Jorgensen" Hall.

Un comentario en “Cálculo aproximado de Pi”

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